已知函數(shù)f(x)=loga(x-3a) (a>0且a≠1)的圖象為c1,將c1向左平移2a個單位得圖象c2,函數(shù)g(x)的圖象c3與c2關(guān)于x軸對稱.
(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式;
(2)當(dāng)0<a<1時,解關(guān)于x的不等式2f(x)+g(x)>1;
(3)若對x∈[a+2,a+3]總有|f(x)-g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.
分析:本題考查的是函數(shù)的圖象與圖象變化問題.在解答時,
對(1)通過先平移再關(guān)于x軸對稱即可獲得問題的解答;
對(2)將函數(shù)f(x)和g(x)的解析式代入不等式化簡即可獲得有關(guān)x的對數(shù)不等式,注意真數(shù)大于零即可獲得問題的解答;
對(3)結(jié)合函數(shù)f(x)和g(x)的解析式先將抽象的恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次不等式的恒成立問題,即可獲得問題的解答.
解答:解:(1)由題意可知:圖象c2對應(yīng)的函數(shù)解析式為:y=loga(x-a),∴圖象c3對應(yīng)的函數(shù)解析式為:g(x)=-loga(x-a).
∴函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=-loga(x-a).
(2)由題意:2f(x)+g(x)>1?2loga(x-3a)>1+loga(x-a)?
x-3a>0
(x-3a)2<a(x-a)

∴不等式的解集為:{x|3a<x<5a}.
(3)由|f(x)-g(x)|≤1在x∈[a+2,a+3]上恒成立
可得:(a+2)-3a>0?0<a<1
|loga(x-3a)+loga(x-a)|≤1?a≤(x-3a)(x-a)≤
1
a
對x∈[a+2,a+3]恒成立.
令h(x)=(x-3a)(x-a)=x2-4ax+3a2,其對稱軸x=2a∉[a+2,a+3],
故h(x)=x2-4ax+3a2在x∈[a+2,a+3]上單調(diào)遞增,
∴h(x)∈[h(a+2),h(a+3)]
∴h(x)∈[4(1-a),3(3-2a)]
3(3-2a)≤
1
a
4(1-a)≥a
,∴a∈(0,
9-
57
12
]

∴a的取值范圍是(0,
9-
57
12
]
點(diǎn)評:本題考查的是函數(shù)的圖象與圖象變化問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了變換的思想、恒成立的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想.值得同學(xué)們體會反思.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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