Question

【題目】已知四邊形為等腰梯形， , 沿對角線將旋轉，使得點至點的位置，此時滿足.

（1）判斷的形狀，并證明；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由題意可得： ，又，所以平面，進而得到，

又，故為直角三角形；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，代入公式即可得到二面角的平面角的余弦值，進而得正弦值.

試題解析：

（1）為等腰直角三角形，

證明：在等腰梯形中，由平面幾何知識可得，又，

由余弦定理得，則，故，

折疊后，又，故平面，

而面，故，

又，故為直角三角形.

(2)由（1）知平面， ，以點為坐標原點，以所在的直線分別為 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

則，

平面的法向量為，則，

取故， ，

同理可求得平面的一個法向量，

設二面角的平面角為，則，

結合圖形可知.