Question

（2012•漳州模擬）已知兩點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足kPA  •  kPB=-

1

4

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）H是曲線E與y軸正半軸的交點(diǎn)，曲線E上是否存在兩點(diǎn)M、N，使得△HMN是以H為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用kPA  •  kPB=-

1

4

，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）則HN所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，確定交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，求出HN、HM的長(zhǎng)，利用|HM|=|HN|，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）（y≠0），則kPA=

y-0

x+2

，kPB=

y-0

x-2

，
∵kPA  •  kPB=-

1

4

，∴

y

x+2

 •  

y

x-2

=-

1

4

，化簡(jiǎn)得

x2

4

+y2=1，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1（y≠0）．注：如果未說(shuō)明y≠0，扣（1分）．
（2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），
由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）
則HN所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2=4

求得交點(diǎn)M(-

8k

1+4k2

，

-8k2

1+4k2

+1)，（另一交點(diǎn)H（0，1））
∴|HM|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8k 1+k2

1+4k2

，
用-

1

k

代替上式中的k，得|HN|=

8 1+k2

4+k 2

，
由|HM|=|HN|，得k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0⇒（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或k=

3± 5

2

，
當(dāng)HM斜率k=1時(shí)，HN斜率-1；當(dāng)HM斜率k=

3+ 5

2

時(shí)，HN斜率

-3+ 5

2

；當(dāng)HM斜率k=

3- 5

2

時(shí)，HN斜率

-3- 5

2

，
綜上述，符合條件的三角形有3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出HN、HM的長(zhǎng)，利用|HM|=|HN|進(jìn)行求解．