Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，則通項公式a_n=$\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．

Answer 1

分析 把已知遞推式兩邊平方，可得數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式后可得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，兩邊平方可得，$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=4$，
又a₁=1，∴$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}=1$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=1+4（n-1）=4n-3$，
則${{a}_{n}}^{2}=\frac{1}{4n-3}$，
∴${a}_{n}=\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．
故答案為：$\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．