Question

     已知數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，

設(shè)集合。

性質(zhì)1 若對于，存在唯一一組（）使成立，則稱數(shù)列為完備數(shù)列，當(dāng)k取最大值時稱數(shù)列為k階完備數(shù)列。

性質(zhì)2 若記，且對于任意，，都有成立，則稱數(shù)列為完整數(shù)列，當(dāng)k取最大值時稱數(shù)列為k階完整數(shù)列。

性質(zhì)3 若數(shù)列同時具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱此數(shù)列為完美數(shù)列，當(dāng)取最大值時稱為階完美數(shù)列；

（Ⅰ）若數(shù)列的通項公式為，求集合，并指出分別為幾階完備數(shù)列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列；

（Ⅱ）若數(shù)列的通項公式為，求證：數(shù)列為階完備數(shù)列，并求出集合中所有元素的和。

（Ⅲ）若數(shù)列為階完美數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。

Answer 1

解：（Ⅰ）；                 

為2階完備數(shù)列，階完整數(shù)列，2階完美數(shù)列；       

（Ⅱ）若對于，假設(shè)存在2組及（）使成立，則有

，即

，其中，

必有，

所以僅存在唯一一組（）使成立，

即數(shù)列為階完備數(shù)列；                                    

，對，，則，因為，則，所以，即                      

（Ⅲ）若存在階完美數(shù)列，則由性質(zhì)1易知中必有個元素，由（Ⅱ）知中元素成對出現(xiàn)（互為相反數(shù)），且，又具有性質(zhì)2，則中個元素必為

，。 

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

顯然時命題成立，假設(shè)當(dāng)（時命題成立，即

當(dāng)時，只需證

由于對稱性只寫出了元素正的部分，其中

既中正的部分的個元素統(tǒng)一為，其中

則中從，到這個元素可以用唯一表示其中，

中從（+1）到最大值這個元素可用唯一表示

其中

中正的部分個元素都存在唯一一組（）使成立，

所以當(dāng)時命題成立。

即{}為階完美數(shù)列，