Question

     已知數列的各項均為正整數，且，

設集合。

性質1 若對于，存在唯一一組（）使成立，則稱數列為完備數列，當k取最大值時稱數列為k階完備數列。

性質2 若記，且對于任意，，都有成立，則稱數列為完整數列，當k取最大值時稱數列為k階完整數列。

性質3 若數列同時具有性質1及性質2，則稱此數列為完美數列，當取最大值時稱為階完美數列；

（Ⅰ）若數列的通項公式為，求集合，并指出分別為幾階完備數列，幾階完整數列，幾階完美數列；

（Ⅱ）若數列的通項公式為，求證：數列為階完備數列，并求出集合中所有元素的和。

（Ⅲ）若數列為階完美數列，求數列的通項公式。

Answer 1

解：（Ⅰ）；                 

為2階完備數列，階完整數列，2階完美數列；       

（Ⅱ）若對于，假設存在2組及（）使成立，則有

，即

，其中，

必有，

所以僅存在唯一一組（）使成立，

即數列為階完備數列；                                    

，對，，則，因為，則，所以，即                      

（Ⅲ）若存在階完美數列，則由性質1易知中必有個元素，由（Ⅱ）知中元素成對出現（互為相反數），且，又具有性質2，則中個元素必為

，。 

下面用數學歸納法證明

顯然時命題成立，假設當（時命題成立，即

當時，只需證

由于對稱性只寫出了元素正的部分，其中

既中正的部分的個元素統(tǒng)一為，其中

則中從，到這個元素可以用唯一表示其中，

中從（+1）到最大值這個元素可用唯一表示

其中

中正的部分個元素都存在唯一一組（）使成立，

所以當時命題成立。

即{}為階完美數列，