Question

15．已知三點P（5，2），F(xiàn)₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0）．
（1）求以F₁、F₂為焦點，且過點P的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求橢圓C中斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求出P與兩焦點距離的和，得到a，結(jié)合c的值求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出斜率為2的直線方程y=2x+m，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得m的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求得平行弦中點的軌跡的參數(shù)方程，消掉參數(shù)得答案．

解答 解：（1）∵P（5，2），F(xiàn)₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），
∴$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=\sqrt{（-6-5）^{2}+（0-2）^{2}}$$+\sqrt{（6-5）^{2}+（0-2）^{2}}=6\sqrt{5}$＞|F₁F₂|，
∴2a=6$\sqrt{5}$，a=3$\sqrt{5}$，c=6，
則b²=a²-c²=9．
則過點P的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由題意可得斜率為2的直線方程為y=2x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得21x²+20mx+5m²-45=0，
則△=（20m）²-84（5m²-45）＞0，即$-3\sqrt{21}＜m＜3\sqrt{21}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{20m}{21}$，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{21}$．
∴平行弦中點的軌跡為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{10m}{21}}\\{y=\frac{m}{21}}\end{array}\right.$（$-3\sqrt{21}＜m＜3\sqrt{21}$），
消掉m得：y=-$\frac{1}{10}x$（-$\frac{10\sqrt{21}}{7}$$＜x＜\frac{10\sqrt{21}}{7}$）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了直線的參數(shù)方程的求法，是中檔題．