Question

已知關(guān)x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1，設(shè)集合P={1，2，3}Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到數(shù)對(duì)（a，b）．
（1）列舉出所有的數(shù)對(duì)（a，b）并求函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）依次從集合PQ中選取兩個(gè)數(shù)組成數(shù)對(duì)，然后再找出滿(mǎn)足△=b²-4a≥0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)，再與總數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)相比可求出答案．
（2）因?yàn)閍＞0所以函數(shù)f（x）是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，只要數(shù)對(duì)滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)軸x=

b

2a

≤1即可保證y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求出數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)后再與總個(gè)數(shù)相比可得答案．

解答：解：（1）（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15種情況
函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況滿(mǎn)足條件
所以函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率為

6

15

=

2

5

（2）函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

b

2a

，在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)則有

b

2a

≤1，（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13種情況滿(mǎn)足條件
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為

13

15

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率的列舉法和二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．對(duì)于概率是從高等數(shù)學(xué)下放的內(nèi)容，一般考查的不會(huì)太難但是每年必考的內(nèi)容要引起重視．