Question

7．已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若|PF₂|=2|PF₁|，∠PF₁F₂=60°，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理能夠求出|PF₁|=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，再由雙曲線定義可以推導(dǎo)出2a=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，從而求出該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=2x，|F₁F₂|=2c，
∵∠PF₁F₂=60°，
∴cos60°=$\frac{{x}^{2}+4{c}^{2}-4{x}^{2}}{2•x•2c}$=$\frac{1}{2}$⇒x=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴x=2a=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義和基本性質(zhì)，主要是雙曲線的離心率，借助余弦定理解決圓錐曲線問題是解決高考試題的一種常規(guī)方法．