Question

對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（2-x）f′（x）≤0，則必有（　�。�

• A、f（1）+f（3）＜2f（2）
• B、f（1）+f（3）≤2f（2）
• C、f（1）+f（3）＞2f（2）
• D、f（1）+f（3）≥2f（2）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由條件分別討論x＞2，x＜2時，f'（x）的符號，從而判斷f（x）的單調(diào)性，求出極值，最值，進而判斷f（1）+f（3）與2f（2）的關(guān)系．

解答： 解：∵對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），滿足（2-x）f′（x）≤0，
①當(dāng)（2-x）f′（x）＜0時，
∴當(dāng)x＜2時，即2-x＞0，f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞2，即2-x＜0時，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在x=2處取極小值，又x∈R，則f（2）也是最小值，
∴f（1）＞f（2），且f（3）＞f（2），
兩式相加得：f（1）+f（3）＞2f（2）．
②當(dāng)（2-x）f′（x）=0時，即f′（x）=0，
此時有f（x）=f（2），有f（1）+f（3）=2f（2），
綜合可得f（1）+f（3）≥2f（2）．
故選：D．

點評：本題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如何求極值、最值，注意開區(qū)間內(nèi)極值只有一個，此時也是最值，是基礎(chǔ)題．