Question

已知角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a，b，c，若=（-cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．
（1）若△ABC的面積S=，求b+c的值．
（2）求b+c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求出-cosA=，又A∈（0，π），可得A的值，由三角形面積及余弦定理求得 b+c的值．
（2）由正弦定理求得b+c=4sin（B+），根據(jù)B+的范圍求出sin（B+）的范圍，即可得到b+c的取值范圍．
解答：解：（1）∵=（-cos，sin），=（cos，sin），
且 =（-cos，sin）•（cos，sin）=-cos²+sin²=-cosA=，
即-cosA=，又A∈（0，π），∴A=…．（3分）   又由S△ABC=bcsinA=，所以bc=4．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos=b²+c²+bc，∴16=（b+c）²，故 b+c=4．…（7分）
（2）由正弦定理得：====4，又B+C=π-A=，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（-B）=4sin（B+），
∵0＜B＜，則＜B+＜，則＜sin（B+）≤1，
即b+c的取值范圍是（2，4]． …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦定理及余弦定理，二倍角公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，綜合性較強(qiáng)．