Question

17．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點(diǎn)F．若P為劣弧$\widehat{EF}$上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$的最小值為5-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先以A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)P（cosθ，sinθ），從而可表示出$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=5-2（cosθ+2sinθ）$，根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=5-2$\sqrt{5}$sin（θ+φ），從而可求出$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$的最小值．

解答 解：如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0），C（2，2），D（0，2），設(shè)P（cosθ，sinθ）；
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=（2-cosθ，2-sinθ）$•（-cosθ，2-sinθ）
=（2-cosθ）（-cosθ）+（2-sinθ）²
=5-2（cosθ+2sinθ）=$5-2\sqrt{5}$sin（θ+φ），tanφ=$\frac{1}{2}$；
∴sin（θ+φ）=1時(shí)，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$取最小值$5-2\sqrt{5}$．
故答案為：5-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和的正弦公式．