Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸；

（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-m在[0，π]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求m的取值范圍及cos（x1+x2）的值．

Answer 1

【答案】（I）；（II），.

【解析】

（Ⅰ）由題意，圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，即周期，可得，即可求解對(duì)稱軸；

（Ⅱ）函數(shù)在，內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求解的范圍；在，內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，是關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的，即可求解的值．

解：（Ⅰ）∵已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為=π，

∴ω=2，

故函數(shù)f（x）=sin（2x-）．

令2x-=kπ+，k∈Z

得x=+，k∈Z，

故函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=+，k∈Z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）=sin（2x-）．

∵x∈[0，π]，

∴2x-∈[，]

∴-≤sin（2x-）≤，

要使函數(shù)y=f（x）-m在[0，π]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．

∴-＜m＜，且m

即m的取值范圍是（-，）∪（-，）．

函數(shù)y=f（x）-m在[0，π]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，

可得x1，x2是關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的；

對(duì)稱軸方=2x-，k∈Z．

得x=，

在[0，π]內(nèi)的對(duì)稱軸x=或

當(dāng)m∈（-，1）時(shí)，可得x1+x2=，

∴cos（x1+x2）=cos

當(dāng)m∈（-1，-）時(shí)，可得x1+x2=，

∴cos（x1+x2）=cos=．