Question

某城市2001年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的6%，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同．為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？

Answer 1

分析：設(shè)2001年末汽車(chē)保有量為b₁萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為b₂萬(wàn)輛，b₃萬(wàn)輛，，每年新增汽車(chē)x萬(wàn)輛，依題意可知b₁=30，根據(jù)題意可表示出關(guān)于b_n的遞推式，利用等比數(shù)列的求和公式求得b_n+1，判斷出數(shù)列的單調(diào)性，然后利用數(shù)列的極限求得問(wèn)題的答案．

解答：解：設(shè)2001年末汽車(chē)保有量為b₁萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為b₂萬(wàn)輛，b₃萬(wàn)輛，，每年新增汽車(chē)x萬(wàn)輛，則b₁=30，
對(duì)于n＞1，有
b_n+1=b_n×0.94+x
=b_n-1×0.94²+（1+0.94）x
所以b_n+1=b₁×0.94ⁿ+x（1+0.94+0.94²+…+0.94ⁿ）
=b1×0.94n+

1-0.94n

0.06

x=

x

0.06

+(30-

x

0.06

)×0.94n
當(dāng)30-

x

0.06

≥0，即x≤1.8時(shí)b_n+1≤b_n≤≤b₁=30．
當(dāng)30-

x

0.06

＜0，即x＞1.8時(shí)
數(shù)列{b_n}逐項(xiàng)增加，
可以任意靠近

x

0.06

lim

n→+∞

bn=

lim

n→+∞

[

x

0.06

+(30-

x

0.06

)×0.94n-1]=

x

0.06

因此，如果要求汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即b_n≤60（n=1，2，3，）
則

x

0.06

≤60，即x≤3.6萬(wàn)輛
綜上，每年新增汽車(chē)不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列與不等式的綜合．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．