Question

（選修4-1：幾何證明選講）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，點(diǎn)D為劣弧

.

AB

的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AOBD是菱形；
（2）延長(zhǎng)線段BO至點(diǎn)P，交⊙O于另一點(diǎn)C，且BP=3OB，求證：AP是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）連接OD．則∠AOD=∠DOB=60°，△AOD、△BOD都是等邊三角形，所以四邊形四邊都相等，判定為菱形；
（2）要證明AP是⊙O的切線，只需證出OA⊥PA即可．連接AC，易證△APB為等邊三角形，得AC=CO；根據(jù)BP=3OB，可得PC=CO，所以AC=

1

2

PO，從而得∠PAO=90°．

解答：證明：（1）連接OD．
∵∠AOB=120°，點(diǎn)D為劣弧

AB

的中點(diǎn)，
∴∠AOD=∠DOB=60°．
∵OA=OD=OB，
∴△AOD、△BOD都是等邊三角形，
∴OA=OB=BD=AD，
∴四邊形AOBD是菱形．
（2）連接AC．
∵BP=3OB，OB=OC，∴PC=CO．
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．
又OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，AC=OC．
∴AC=

1

2

PO．∴∠PAO=90°．∴OA⊥PA，
∴AP是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的證明，切線的判定，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．