Question

如果△A₁B₁C₁的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A₂B₂C₂的三個內(nèi)角的正弦值，則（　　）

• A、△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是銳角三角形
• B、△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是鈍角三角形
• C、△A₁B₁C₁是鈍角三角形，△A₂B₂C₂是銳角三角形
• D、△A₁B₁C₁是銳角三角形，△A₂B₂C₂是鈍角三角形

Answer 1

分析：首先根據(jù)正弦、余弦在（0，π）內(nèi)的符號特征，確定△A₁B₁C₁是銳角三角形；
然后假設△A₂B₂C₂是銳角三角形，則由cosα=sin（

π

2

-α）推導出矛盾；
再假設△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；
最后得出△A₂B₂C₂是鈍角三角形的結論．

解答：解：因為△A₂B₂C₂的三個內(nèi)角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三個內(nèi)角的余弦值也均大于0，則△A₁B₁C₁是銳角三角形．
若△A₂B₂C₂是銳角三角形，由

sinA2=cosA1=sin( π 2 -A1) sinB2=cosB1=sin( π 2 -B1) sinC2=cosC1=sin( π 2 -C1)

，
得

A2= π 2 -A1 B2= π 2 -B1 C2= π 2 -C1

，
那么，A2+B2+C2=

π

2

，這與三角形內(nèi)角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨設A₂=

π

2

，
則sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范圍內(nèi)無值．
所以△A₂B₂C₂是鈍角三角形．
故選D．

點評：本題主要考查正余弦函數(shù)在各象限的符號特征及誘導公式，同時考查反證法思想．