Question

已知橢圓C：的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=4，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)（，-1）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由等軸雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率．因?yàn)橹本�與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓相切的性質(zhì)可得，再利用a²=b²+c²即可得出；
（II）分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，①不存在時(shí)比較簡(jiǎn)單；②斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式，再利用k₁+k₂=4即可證明．
解答：（I）解：∵等軸雙曲線的離心率為，∴橢圓的離心率，
又∵直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，
∴，即b=1，
聯(lián)立，解得，
∴橢圓C的方程為．
（II）證明：由（I）可知：M（0，1）．
①若直線AB的斜率不存在，設(shè)方程為x=x，則A（x，y），B（x，-y）．
由已知得，解得，
此時(shí)直線AB的方程為，顯然過(guò)點(diǎn)．
②若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立．
化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴，．（*）
∵k₁+k₂=4，∴，
∴，化為．
把（*）代入得，∴k=2（m+1），∴．
∴直線AB的方程為，即，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓與原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓性質(zhì)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線 與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立化為一元二次方程點(diǎn)到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．