Question

2．如圖：ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，M、N分別是PC、AB中點(diǎn)，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系證明：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 分別以AB、AD、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，用坐標(biāo)表示出向量$\overrightarrow{NM}$、$\overrightarrow{CD}$與$\overrightarrow{PD}$，
用數(shù)量積求出$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{PD}$，從而證明MN⊥平面PCD．

解答 證明：根據(jù)題意，分別以AB、AD、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
如圖所示；
則O（0，0，0），N（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，1），M（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{NM}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），
∴$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{CD}$=0×（-2）+$\frac{1}{2}$×0+$\frac{1}{2}$×0=0，∴$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{CD}$，
$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{PD}$=0×0+$\frac{1}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×（-1）=0，∴$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
即MN⊥CD，MN⊥PD，且PD∩CD=D，
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線面垂直問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．