Question

（2013•泉州模擬）已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，D₁D⊥面ABCD，AB=4，AA₁=2，點(diǎn)E在棱C₁D₁上，且D₁E=3．
（Ⅰ）試在棱CD上確定一點(diǎn)E₁，使得直線EE₁∥平面D₁DB，并證明；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)，且AF=2，請(qǐng)說明點(diǎn)F的軌跡，并探求EF長度的最小值．

Answer 1

分析：（I）取CD的四等分點(diǎn)E₁，使得DE₁=3，可證出D₁EE₁D為平行四邊形，得D₁D∥EE₁，結(jié)合線面平行的判定定理，可證出直線EE₁∥平面D₁DB，因此當(dāng)點(diǎn)E₁是CD靠近C的四等分點(diǎn)時(shí)，滿足EE₁∥平面D₁DB；
（II）根據(jù)題意，點(diǎn)F的軌跡是在平面ABCD內(nèi)，以A為圓心、半徑等于2的四分之一圓�。�根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得E₁E⊥面ABCD，所以Rt△EE₁F中，得EF=

4+E1F2

，所以E₁F的長度取最小值時(shí)EF的長度最�。�結(jié)合圖形得E₁F的最小值為3，由此可得
EF長度的最小值為

4+3  2

=

13

．

解答：解：（Ⅰ）取CD的四等分點(diǎn)E₁，使得DE₁=3，則有EE₁∥平面D₁DB．證明如下：…（1分）
∵D₁E∥DE₁且D₁E=DE₁，
∴四邊形D₁EE₁D為平行四邊形，可得D₁D∥EE₁，…（2分）
∵DD₁?平面D₁DB，EE₁?平面D₁DB，∴EE₁∥平面D₁DB．…（4分）
（Ⅱ）∵AF=2，
∴點(diǎn)F在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以A為圓心、半徑等于2的四分之一圓弧．…（6分）
∵EE₁∥DD₁，D₁D⊥面ABCD，∴E₁E⊥面ABCD，…（7分）
Rt△EE₁F中，可得EF=

E1E2+E1F2

=

4+E1F2

．…（8分）
因此，當(dāng)E₁F的長度取最小值時(shí)，EF的長度最小，此時(shí)點(diǎn)F為線段AE₁和四分之一圓弧的交點(diǎn)，…（10分）
即E₁F=E₁A-AF=5-2=3，
此時(shí)，EF=

E1E2+E1F2

=

13

．
∴EF長度的最小值為

13

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題在長方體中求證線面平行，并EF長度的最小值．著重考查了直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)，屬于中檔題．