已知函數(shù)，，其中．   

（1）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，是否存在，對任意給定的非零實數(shù)，存在惟一的非零實數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

解：（1）因    ……1分

， ∵在區(qū)間上單調(diào)     

恒成立   ……2分

   恒成立

設(shè)

令有，記 

由函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……4分

∴，于是   ……5分

∴                    ……6分

（2）當(dāng)時有；   ……7分

當(dāng)時有，因為當(dāng)時不合題意，因此，……8分

下面討論的情形，

記  求得  A，B=

（�。┊�(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有   ……9分

（ⅱ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此    ……11分

綜合（ⅰ）（ⅱ）       ……12分

當(dāng)時A=B，則，即使得成立，

因為在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；…13分

同理，，即存在唯一的非零實數(shù)，要使成立，

所以滿足題意.   …14分

【解析】本試題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，則可以利用導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍，

（2）分別分析函數(shù)f(x)和g(x)的性質(zhì)得到單調(diào)性，進而確定是否存在點滿足已知條件來求解得到。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx), =(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于.

(1)求ω的取值范圍；

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=,b+c=3(b＞c)，當(dāng)ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省五校聯(lián)盟高三下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知,函數(shù)，，(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)),

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得的最小值為3. 若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數(shù)≥0，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時，是否存在實數(shù)，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年天津市高三十校聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

．（14分）已知函數(shù)，，其中

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值

（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆云南省高一期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中）的周期為π，且圖象上一個最低點為。

 (1)求的解析式；

(2)當(dāng)時，求的最值

 

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