Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意義，則

x+1＞0 1-x＞0

，
即-1＜x＜1．
所以所求定義域為{x|-1＜x＜1}
（2）設F（x）=f（x）+g（x），
則F（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=F（x）．
所以f（x）+g（x）是偶函數．
（3）f（x）-g（x）＞0，
即log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
當0＜a＜1時，上述不等式等價于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

解得-1＜x＜0．
當a＞1時，原不等式等價于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，
解得0＜x＜1．
綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．