如圖所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.
(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo);
(2)問當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí),BC邊上能存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD?
(3)當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD時(shí),求二面角Q-PD-A的大。
(1)P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,a,0).(2)a≥0.(3).
【解析】
試題分析:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AD、AP分
別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示.∵PA=AB=1,BC=a,∴P(0,0,1),B(1,1,0),
D(0,a,0).
(2)設(shè)點(diǎn)Q(1,x,0),則.
由,得x2-ax+1=0.
顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí),BC邊上才存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD,故⊿=a2-4≥0.
因a>0,故a的取值范圍為a≥0.
(3)易見,當(dāng)a=2時(shí),BC上僅有一點(diǎn)滿足題意,此時(shí)x=1,即Q為BC的中點(diǎn).
取AD的中點(diǎn)M,過M作MN⊥PD,垂足為N,連結(jié)QM、QN.則M(0,1,0),P(0,0,1),D(0,2,0).
∵D、N、P三點(diǎn)共線,∴.
又,且,
故.于是.
故.
∵,∴.∴∠MNQ為所求二面角的平面角.
∵,∴所求二面角為.
考點(diǎn):本題考查了向量法在立體幾何中的運(yùn)用
點(diǎn)評:空間向量就是一把解決立體幾何問題的鑰匙,利用向量解答立體幾何問題實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化,降低了問題解決的難度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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