Question

（2012•黃山模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，A、B分別為橢圓長軸右端點與短軸上端點，坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過P（0，2）作斜率為k的直線交橢圓于不同的兩點M、N，設(shè)

PM

=λ

PN

，記f(λ)=λ+

1

λ

+2，求證：（6f（λ）-32）k²=-3f（λ）；
（Ⅲ）求k與λ的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求直線AB的方程，利用坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為

6

3

，建立方程，根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，可建立另一方程，聯(lián)立即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將l：y=kx+2與橢圓方程

x2

2

+y2=1聯(lián)立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0，設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由

PM

=λ

PN

得λ=

x1

x2

，從而可得f(λ)=λ+

1

λ

+2=

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

3(1+2k2)

，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）利用判別式大于0，可確定k的范圍，利用f(λ)=λ+

1

λ

+2=

32k2

3(1+2k2)

，可求λ的范圍．

解答：（Ⅰ）解：∵A、B分別為橢圓長軸右端點與短軸上端點，
∴直線AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1
∴坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為

ab

a2+b2

∵坐標(biāo)原點O到直線AB的距離為

6

3

∴

ab

a2+b2

=

6

3

①
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

2

②
由①②，可得a²=2，b²=1
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；…（4分）
（Ⅱ）證明：依題意得l：y=kx+2與橢圓方程

x2

2

+y2=1聯(lián)立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由

PM

=λ

PN

得x₁=λx₂，∴λ=

x1

x2

…（6分）
∴f(λ)=λ+

1

λ

+2=

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

3(1+2k2)

∴(6f(λ)-32)k2=(

64k2

1+2k2

-32)k2=-

32k2

1+2k2

=-3f(λ)得證…（8分）
（Ⅲ）解：由（1+2k²）x²+8kx+6=0得△=（8k）²-4×6（1+2k²）＞0，
∴k2＞

3

2

，即k＞

6

2

或k＜-

6

2

…（10分）
∵f(λ)=λ+

1

λ

+2=

32k2

3(1+2k2)

，∴4＜f(λ)＜

64

3

…（11分）
∴4＜λ+

1

λ

+2＜

64

3

，∴

1

3

＜λ＜3且λ≠1…（12分）
綜上所述：k∈(-∞，-

6

2

)∪(

6

2

，+∞)，λ∈(

1

3

，1)∪(1，3)…（13分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)的范圍的確定，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．