設a為實數,函數f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.
(1)若f(x)是偶函數,試求a的值;
(2)在(1)的條件下,求f(x)的最小值.
分析:(1)根據f(x)是偶函數,利用f(-x)=f(x)在R上恒成立,即可求得a的值;
(2)由(1)知a的值,從而寫出f(x)的表達式,再將|x|看成整體,利用二次函數的性質求出f(x)的最小值即可.
解答:解:(1)∵f(x)是偶函數,∴f(-x)=f(x)在R上恒成立,
即(-x)
2-|-x-a|+1=x
2-|x-a|+1,
化簡整理,得ax=0在R上恒成立,∴a=0.
(2)由(1)知a=0,∴f(x)=x
2-|x|+1,
∵x
2≥0,|x|≥0,當
x=±時,
f(x)=,
∴當
x=±時,f(x)的最小值為
.
點評:本小題主要考查二次函數的性質、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力與轉化思想.屬于基礎題.