Question

設a為實數，函數f（x）=x²-|x-a|+1，x∈R．
（1）若f（x）是偶函數，試求a的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）是偶函數，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得a的值；
（2）由（1）知a的值，從而寫出f（x）的表達式，再將|x|看成整體，利用二次函數的性質求出f（x）的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²-|-x-a|+1=x²-|x-a|+1，
化簡整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0．
（2）由（1）知a=0，∴f（x）=x²-|x|+1，
∵x²≥0，|x|≥0，當x=±

1

2

時，f(x)=

3

4

，
∴當x=±

1

2

時，f（x）的最小值為

3

4

．

點評：本小題主要考查二次函數的性質、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．