Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）+a（x∈R，a∈R，a是常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1的最大值為a+3=4，解之可得．

解答： 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）+a
=2cos²x+2

3

sinxcosx+a=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1的最大值為a+3，
又∵函數(shù)f（x）的最大值為4，∴a+3=4，
解得a=1，∴a的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．