Question

已知A（-2，0）、B（2，0），點(diǎn)C、點(diǎn)D依次滿足|

AC

|=2，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)．
（1）求點(diǎn)D的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

4

5

，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（x₀，y₀），D（x，y），欲求點(diǎn)D的軌跡方程，即尋找x，y之間 的關(guān)系式，利用向量間的關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后代入距離公式即可得；
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)圓的切線性質(zhì)及中點(diǎn)條件，利用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)a，b即可．

解答：解：（1）設(shè)C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（x₀，y₀），D（x，y），
則

AC

=(x0+2，y0），

AB

=(4，0)，
則

AB

+

AC

=(x0+6，y0)，
故

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)=(

x0

2

+3，

y0

2

)．
又

x0=2x-2 y0=2y.

代入|

AC

|=

(x0+2)2+ y 2 0

=2中，整理得x²+y²=1，
即為所求點(diǎn)D的軌跡方程．
（2）易知直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），①
又設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，②
a²-b²=4，
因?yàn)橹本�l：kx-y+2k=0與圓x²+y²=1相切．
故

|2k|

k2+1

=1，
解得k2=

1

3

．將①代入②整理得，（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，③
將k2=

1

3

代入上式，
整理得(a2-3)x2+a2x-

3

4

a4+4a2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

a2

a2-3

，
由題意有，求得．
經(jīng)檢驗(yàn)，此時③的判別式
故所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．