Question

14．給出四個(gè)命題：（1）若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；（2）若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；（3）若sin²A+sin²B+sin²C＜2，則△ABC為鈍角三角形；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC為正三角形，以上正確命題的是（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判斷出正誤；
（2）由sinA=cosB=$sin（\frac{π}{2}-B）$，A，B∈（0，π），可得A=$\frac{π}{2}$-B，或A+$\frac{π}{2}$-B=π，即可判斷出正誤；
（3）由sin²A+sin²B+sin²C＜2，利用倍角公式可得：$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$＜2，化為cos2A+cos2B+cos2C＞-1，再利用倍角公式、和差公式化為cosAcosBcosC＜0，即可判斷出正誤；
（4）由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，利用余弦函數(shù)的值域，可得A-B=B-C=C-A=0，即可判斷出正誤．

解答 解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，因此不正確；
（2）若sinA=cosB=$sin（\frac{π}{2}-B）$，∵A，B∈（0，π），∴A=$\frac{π}{2}$-B，或A+$\frac{π}{2}$-B=π，解得A+B=$\frac{π}{2}$或$A-B=\frac{π}{2}$，則△ABC為鈍角三角形或直角三角形，因此不正確；
（3）∵sin²A+sin²B+sin²C＜2，∴$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$＜2，化為cos2A+cos2B+cos2C＞-1，∴2cos²A+2cos（B+C）cos（B-C）＞0，
∴cosA[-cos（B+C）-cos（B-C）]＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC為鈍角三角形，正確；
（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∵cos（A-B）∈（-1，1]，cos（B-C）∈（-1，1]，cos（C-A）∈（-1，1]，可知：只有三個(gè)都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，則△ABC為正三角形，正確．
以上正確的命題是：（3）（4）．
故答案為：（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的值域、三角形內(nèi)角和定理、倍角公式與和差公式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．