Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（3＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，一組平行直線斜率為2，求橢圓C的斜率為2的切線方程y=2x$±2\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 利用橢圓的離心率求出橢圓的方程，設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立利用相切求出直線方程即可．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（3＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
可得c=$\sqrt{5}$，∴b²=4，
橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
直線斜率為2，設(shè)方程為：y=2x+m，
則$\left\{\begin{array}{l}y=2x+m\\ \frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$，可得4x²+9（2x+m）²=36，
即40x²+36mx+9m²-36=0，
橢圓C與直線相切，可得：（36m）²-4×40×（9m²-36）=0，
解得m=$±2\sqrt{10}$．
橢圓C的斜率為2的切線方程：y=2x$±2\sqrt{10}$．
故答案為：y=2x$±2\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的方程的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．