Question

拋物線y=x²上的一動點M到直線l：x-y-1=0距離的最小值是（　　）

• A．

  3 2

  8

• B．

  3

  8

• C．

  3

  4

• D．

  3 2

  4

Answer 1

分析：（法一）對y=x²求導可求與直線x-y-1=0平行且與拋物線y=x²相切的切線方程，然后利用兩平行線的距離公司可得所求的最小距離d
（法二）設(shè)拋物線上的任意一點M（m，m²），由點到直線的距離公司可求M到直線x-y-1=0的距離d=

|m-m2-1|

2

=

|m2-m+1|

2

=

|(m- 1 2 )2+ 3 4 |

2

，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求M到直線x-y-1=0的最小距離

解答：解：（法一）對y=x²求導可得y′=2x
令y′=2x=1可得x=

1

2

∴與直線x-y-1=0平行且與拋物線y=x²相切的切點（

1

2

，

1

4

），切線方程為y-

1

4

=x-

1

2

即x-y-

1

4

=0
由兩平行線的距離公式可得所求的最小距離d=

|- 1 4 +1|

2

=

3 2

8

（法二）設(shè)拋物線上的任意一點M（m，m²）
M到直線x-y-1=0的距離d=

|m-m2-1|

2

=

|m2-m+1|

2

=

|(m- 1 2 )2+ 3 4 |

2

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當m=

1

2

時，最小距離d=

3

4 2

=

3 2

8

故選A

點評：本題考查直線的拋物線的位置關(guān)系的應用，解題時要注意公式的靈活運用，拋物線的基本性質(zhì)和點到線的距離公式的應用，考查綜合運用能力