Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=4，S₅=35．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=p an（p≠0），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d．
則

a1+d=4 5a1+ 5(5-1) 2 d=35

解得

a1=1 d=3

，
∴a_n=3n-2．
∴前n項(xiàng)和S_n=

n(1+3n-2)

2

=

n(3n-1)

2

．
（Ⅱ）∵a_n=3n-2，∴bn=p3n-2，且b₁=p（p≠0）．
當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=

p3n-2

p3(n-1)-2

=p³為定值，
∴數(shù)列b_n構(gòu)成首項(xiàng)為p，公比為p³的等比數(shù)列．     
所以   （1）當(dāng)p³=1，即p=1時(shí)，T_n=n，
（2）當(dāng)p³≠1，即p≠1時(shí)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和是
Tn=

p(1-p3n)

1-p3

=

p3n+1-p

p3-1

．