Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若點在函數(shù)的圖象上運動，直線與函數(shù)的圖象不相交，求點到直線距離的最小值；

（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)(2)

【解析】

（I）先求得函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求得函數(shù)對應(yīng)圖像上與平行的切線方程，利用兩平行線間的距離公式求得到直線距離的最小值.（II）（1）構(gòu)造函數(shù)，利用的導函數(shù)，對分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合求得的取值范圍. （2）將分類常數(shù)，轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求得的最小值，由此求得的范圍.結(jié)合（1）（2）可求得的的取值范圍.

（Ⅰ）的定義域為，.

由題意，令，得，解得或（舍去），∵，

∴到直線的距離為所求的最小值.

（Ⅱ）（1）當，恒成立時，設(shè)，

.

①當即時，，，，

所以，即在上是增函數(shù).

又，即，∴時滿足題意.

②當即時，

令.因為，所以存在，使.

當時，，即，在上是減函數(shù)，，

∴時，不恒成立；

（2）當，恒成立時，.

設(shè)，，，，，，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，∴.

綜上所述，的取值范圍是.