Question

16．已知函數(shù)f（x）=-x²-2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{x+1，x≤0}\end{array}\right.$．
（1）求g[f（-1）]的值；
（2）試判斷方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)，并判斷其中一個(gè)解在區(qū)間（0，1）內(nèi)．

Answer 1

分析 （1）直接求解；
（2）在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，
由圖象可知，函數(shù)f（x）和g（x）的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，方程f（x）=g（x）共有3個(gè)解．
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=-x²-x-lnx，x∈（0.1），
由F（$\frac{1}{e}$）•F（1）＜0，可判斷方程的一個(gè)解在區(qū)間（0，1）

解答 解：（1）∵f（-1）=-1²+2×1=1，
∴g[f（-1）]=g（1）=ln1=0．…（4分）
（2）在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖所示．…（6分）

由圖象可知，函數(shù)f（x）和g（x）的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴方程f（x）=g（x）共有3個(gè)解．
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=-x²-2x-lnx，x∈（0，1），
∴F（$\frac{1}{e}$）=-（$\frac{1}{e}$）²-$\frac{1}{e}$-ln$\frac{1}{e}$$＞-（\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}＞0$
F（1）=-1²-2-ln1=-3＜0，
∴F（$\frac{1}{e}$）•F（1）＜0，∴方程的一個(gè)解在區(qū)間（0，1）內(nèi)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)換，屬于中檔題，