Question

已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x），a＞1＞b＞0
（1）求f（x）的定義域；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸；
（3）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零求解．
（2）當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)時(shí)，則不存在，當(dāng)函數(shù)在定義域上不單調(diào)時(shí)，則存在，所以要證明函數(shù)是否單調(diào)，可用定義法，也可用導(dǎo)數(shù)法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數(shù)的最小值非負(fù)即可，由（2）可知是增函數(shù)，所以只要f（1）≥0即可．

解答：解：（1）由a^x-b^x＞0得(

a

b

)x＞1=(

a

b

)0，
由于(

a

b

)＞1所以x＞0，
即f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f(x1)=lg(ax1-bx1)，f(x2)=lg(ax2-bx2)(ax1-bx1)-(ax2-bx2)=(ax1-ax2)+(bx2-bx1)
∵a＞1＞b＞0，
∴y=a^x在R上為增函數(shù)，y=b^x在R上為減函數(shù)，
∴ax1-ax2＜0，bx2-bx1＜0
∴(ax1-bx1)-(ax2-bx2)＜0，即(ax1-bx1)＜(ax2-bx2)
又∵y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
所以任取x₁≠x₂則必有y₁≠y₂故函函數(shù)f（x）的圖象L不存在不同的兩點(diǎn)使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸．
（3）因?yàn)閒（x）是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞f（1），
這樣只需f（1）=lg（a-b）≥0，
即當(dāng)a-b≥1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域，單調(diào)性及最值，這是�？汲Ｐ碌念愋停�在轉(zhuǎn)化問題和靈活運(yùn)用知識(shí)，方法方法要求較高．