Question

（文）已知函數(shù)f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=x-1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)h（x）=f（x）-x+2a+1．
（1）若函數(shù)f（x）滿足f'（4-x）=f'（x），求實數(shù)a，b，c的值；
（2）若函數(shù)h（x）在區(qū)間（-1，1）單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＜

1

2

時，函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，3-a²）上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，切線的斜率和切點，根據(jù)對稱，得到a，b，c的方程，解出即可；
（2）函數(shù)h（x）在區(qū)間（-1，1）單調(diào)遞減即x∈（-1，1），h′（x）≤0恒成立．則h′（1）≤0且h′（-1）≤0，解出即可；
（3）h（x）=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極小值，要使函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，3-a²）上有最小值，則2a≤a-1＜1＜3-a²，解出即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-2（2a+2）x+b，∵切線為y=x-1，∴f（1）=0，f′（1）=1
∴b=4a+2，c=-2a-1，∵f'（4-x）=f'（x），∴y=f′（x）圖象關(guān)于x=2對稱，
∴a=2，b=10，c=-5；
（2）h（x）=f（x）-x+2a+1=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，h′（x）=3x²-2（2a+2）x+4a+1，
即x∈（-1，1），h′（x）≤0恒成立．
則h′（1）≤0且h′（-1）≤0，∴a≤-1；
（3）h（x）=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，h′（x）=3x²-2（2a+2）x+4a+1=（x-1）（3x-（4a+1）），
h′（x）=0，x₁=

4a+1

3

，x₂=1（a＜

1

2

），
h′（x）＞0，x＞1或x＜

4a+1

3

；h′（x）＜0，

4a+1

3

＜x＜1．
∴h′（x）在x=1處取極小值為2a，
h（x）=h（1），即x³-2ax²-2x²+4ax+x-2a=0，即（x-1）²（x-2a）=0，
∴x=1或x=2a，要使函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，3-a²）上有最小值，
則2a≤a-1＜1＜3-a²，得-

2

＜a≤-1．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，考查基本的運算推理能力，屬于中檔題．