Question

設(shè)函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

))的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，則下面四個結(jié)論：
①圖象關(guān)于點(

π

4

，0)對稱；     
②圖象關(guān)于點(

π

3

，0)對稱；
③在[0，

π

12

]上是增函數(shù)；        
④在[-

π

12

，0]上是減函數(shù)；
正確結(jié)論的編號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意，先求出函數(shù)解析式，再判定函數(shù)的對稱性以及單調(diào)區(qū)間，從而得出正確的結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

))的最小正周期為π，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2；
又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，
∴2×

π

12

+φ=

π

2

，
∴φ=

π

3

；
∴y=Asin（2x+

π

3

）；
∴當x=

π

4

時，y=Asin（2×

π

4

+

π

3

）=Asin

5π

6

≠0；
∴結(jié)論①錯誤；
當x=

π

3

時，y=Asin（2×

π

3

+

π

3

）=Asinπ=0，
∴結(jié)論②正確；
當x∈[0，

π

12

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，
∴y=Asin（2x+

π

3

）是增函數(shù)；
∴結(jié)論③正確；
當x∈[-

π

12

，0]時，2x+

π

3

∈[

π

6

，

π

3

]，
∴y=Asin（2x+

π

3

）是增函數(shù)；
∴結(jié)論④錯誤；
所以，以上正確的結(jié)論是②③；
故答案為：②③．

點評：本題綜合考查了形如y=Asin(ωx+φ) (ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

))的函數(shù)的周期性，對稱性以及單調(diào)性問題，其中求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．