Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）m∈N^*，求證：；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）∵
∴
∵
∴
∴；
（2）證明：
（3）證明：
，，…，
設n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
則
又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2
從而m+1≤log₂n＜m+2
∴[log₂n]=m+1
所以，
∴．
分析：（1）根據(jù)，取其倒數(shù)，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）
（3）證明：，設n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
則，又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2從而m+1≤log₂n＜m+2，故可得證．
點評：本題以數(shù)列的遞推式為載體，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，同時考查新定義的理解，屬于中檔題．