Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（-ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜π），其最小正周期為π，y=f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{6}$．
（1）求ω與φ的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求使f（x）≤$\frac{3}{2}$成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由題意根據(jù)函數(shù)的周期性求得ω，再根據(jù)圖象的對稱性求得φ 值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由f（x）≤$\frac{3}{2}$，求得sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥-$\frac{1}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3sin（-ωx+φ）=-3sin（ωx-φ）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵y=f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{6}$，∴2×$\frac{π}{6}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 φ=-kπ-$\frac{π}{6}$，
再結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{5π}{6}$．
（2）由以上可得f（x）=-3sin（2x-$\frac{5π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，
求得kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{6}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈z．
（3）由f（x）=-3sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≤$\frac{3}{2}$，求得sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥-$\frac{1}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z，
求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+π，∴f（x）≤$\frac{3}{2}$成立的x的集合為{x|kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+π，k∈z}．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．