Question

已知f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且它們的定義域都為（-1，1），又．
（1）求f（x）和g（x）的表達式；
（2）判斷g（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵①
∴f（-x）+g（-x）=即f（x）-g（x）=②
①②聯(lián)立可得f（x）=，g（x）=
（2）g（x）在（-1，1）單調(diào)遞減，證明如下：
∵g（x）==，
令h（x）=x-，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1
則h（x₁）-h（x₂）==（x₁-x₂）+（）=
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，
∴＜0即h（x₁）＜h（x₂）
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增h（x）＜0，g（x）＜0
根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增h（x）＞0，g（x）＞0
∵g（0）=0
∴g（x）在（-1，1）單調(diào)遞減
分析：（1）利用f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，列出方程組，直接求f（x）和g（x）的解析式；
（2）利用單調(diào)性的定義可先判斷函數(shù)h（x）=x-在（0，1）上的單調(diào)性，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可求函數(shù)g（x）在（-1，0）上的單調(diào)性，進而可求g（x）的單調(diào)性
點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的對數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計算能力．