已知直線l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0與圓C:x2+y2-6x-8y+21=0
(1)求證:對于任意實數(shù)m,l與圓C恒有兩個交點A,B
(2)當AB最小時,求l的方程.
【答案】
分析:(1)將直線l方程變形,根據(jù)題意求出x與y的值,確定出直線恒過點M坐標,將圓方程化為標準方程,找出圓心C坐標與半徑r,求出|MN|的長,與半徑比較大小即可得證;
(2)過圓內(nèi)一點的所有弦中,以直徑為最長,以垂直于直徑的弦長最小,求出直線MC的斜率,找出直線AB的斜率,表示出直線l方程即可.
解答:解:(1)直線系l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0,可以化成(2x-3y+7)+m(x+2y-14)=0,
∵方程組2x-3y+7=0;x+2y-14=0有解x=4;y=5,
∴l(xiāng)中的每一條都經(jīng)過點M(4,5),
圓C:(x-3)
2+(y-4)
2=4的圓心是N(3,4),半徑是r=2,
∵|MN|
2=(4-3)
2+(5-4)
2=2<4=r
2,
∴點M在圓C內(nèi),
則過M的每一條直線都與圓相交,并且交于不同的兩點A,B;
(2)過圓內(nèi)一點的所有弦中,以直徑為最長,以垂直于直徑的弦長最小,
此時k
MC=
=1,∴k
AB=-1,
∴直線l方程為y-5=-(x-4),即x+y-9=0,
則|AB|最小時,直線方程是x+y-9=0.
點評:此題考查了直線與圓的位置關系,涉及的知識有:恒過定點的直線方程,圓的標準方程,兩點間的距離公式,以及直線的點斜式方程,是一道綜合性較強的試題.