若C32+C42+C52+…+Cn2=363，則自然數(shù)n=
13
13
．
分析：根據(jù)題意，現(xiàn)將原等式變形為C33+C32+C42+C52+…+Cn2=364，再利用組合數(shù)的性質(zhì)Cnm+Cnm-1=Cn+1m，可得C22+C32+C42+C52+…+Cn2=Cn+13，則原等式可化為Cn+13=364，解可得答案．
解答：解：C32+C42+C52+…+Cn2=363，
則1+C32+C42+C52+…+Cn2=364，即C33+C32+C42+C52+…+Cn2=364，
又由Cnm+Cnm-1=Cn+1m，則C22+C32+C42+C52+…+Cn2=C43+C42+C52+…+Cn2=C53+C52+C62+…+Cn2=Cn+13，
原式可變形為Cn+13=364，
化簡(jiǎn)可得
(n+1)n(n-1)
3×2×1
=364，
又由n是正整數(shù)，解可得n=13，
故答案為13．
點(diǎn)評(píng)：本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用Cnm+Cnm-1=Cn+1m，將原式變形，需注意Cn+13=364的解法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問(wèn)的結(jié)果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式，對(duì)同一個(gè)量算兩次的方法來(lái)證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請(qǐng)利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

若C32+C42+C52+…+Cn2=363，則自然數(shù)n=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年湖南省永州市祁陽(yáng)四中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

若C32+C42+C52+…+Cn2=363，則自然數(shù)n=    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年湖南省永州市祁陽(yáng)四中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

若C32+C42+C52+…+Cn2=363，則自然數(shù)n=    ．

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