Question

已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

（Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x₁＞0,x₂＞0時(shí)，有f(x₁+x₂)＞f(x₁)+f(x₂);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln2²+ln3²+ln4²+…+ln(n+1)²＞(n∈N^*).

Answer 1

解：（Ⅰ）由g(x)=,對(duì)g(x)求導(dǎo)數(shù)知g′（x）=.

    由xf′(x)＞f(x)可知：g′(x)＞0在x＞0時(shí)恒成立.

    從而g(x)=在x＞0時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù).

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=在x＞0時(shí)是增函數(shù).

    在x₁＞0,x₂＞0時(shí)，＞,＞.

    于是f(x₁)＜f(x₁+x₂),f(x₂)＜f(x₁+x₂).

    兩式相加得到：f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂).

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：g(x)=在x＞0上單調(diào)遞增時(shí)，有f(x₁+x₂)＞f(x₁)+f(x₂)(x₁＞0,x₂＞0)恒成立.

    由數(shù)學(xué)歸納法可知：x_i＞0(i=1,2,3,…,n)時(shí)，有f(x₁)+f(x₂)+f(x₃)+…+f(x_n)＜f(x₁+x₂+x₃+…+x_n)（n≥2）恒成立.

    設(shè)f(x)=xlnx,則在x_i＞0(i=1,2,3,…,n)時(shí)，有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜(x₁+x₂+…+x_n)ln(x₁+x₂+x₃+…+x_n)(n≥2)恒成立.

    令x_n=,記S_n=x₁+x₂+…+x_n=++…+.

    由S_n＜++…+=1-.

S_n＞++…+=-.

（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）＜(x₁+x₂+…+x_n)ln()＜-(x₁+x₂+…+x_n)

（∵ln（1+x）＜x）＜-(-)=-.

    則②代入①中，可知：ln+ln+…+ln＜-.

    于是ln2²+ln3²+…+ln(n+1)²＞.