Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知向量

m

=(2sin(A+C)， 

3

)， 

n

=(cos2B， 2cos2

B

2

-1)，且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)求得tan2B的值，再根據(jù)△ABC為銳角三角形，B的值．
（Ⅱ）若b=1，則由余弦定理、基本不等式求得 ac 的最大值，可得△ABC面積為

1

2

ac•sinB，求得它的最大值

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(2sin(A+C)， 

3

)， 

n

=(cos2B， 2cos2

B

2

-1)，且

m

∥

n

．
∴2sin（A+C）（2cos2

B

2

-1）-

3

cos2B=0，即 2sinBcosB=

3

cos2B，
∴tan2B=

sin2B

cos2B

=

3

．
再根據(jù)△ABC為銳角三角形，可得0＜B＜

π

2

，∴2B=

π

3

，B=

π

6

．
（Ⅱ）若b=1，則由余弦定理可得 b²=1=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-

3

ac，
解得 ac≤

1

2- 3

=2+

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號，
故△ABC面積的最大值為

1

2

ac•sinB=

1

2

（2+

3

）•

1

2

=

2+ 3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，正弦定理和余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．