Question

在底面邊長為2，高為1的正四棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)．

（1）求異面直線、所成的角；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先建系，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出異面直線、所成的角；（2）先求出平面與平面的法向量，然后利用法向量來計(jì)算平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

試題解析：由于為正四棱柱，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，

，則，，     1分

，，，                                               3分

設(shè)異面直線、所成的角為，

則，，

即異面直線、所成的角為；                                            4分

（2）如上圖所示，則， ，，設(shè)平面的一個法向量為，

，，

，，即，解得，

，，即，將代入得，        

令，可得平面的一個法向量為，                                 6分

同理可知平面的一個法向量為，                                   7分

，，，       8分

設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，

則，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.                           10分

考點(diǎn)：異面直線所成的角、二面角、空間向量法