過橢圓的左頂點作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，若軸上存在一定點，使得，求橢圓的方程.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（I）根據(jù),設直線方程為,

確定的坐標，由確定得到，

再根據(jù)點在橢圓上，求得進一步即得所求；

（2）由可設,

得到橢圓的方程為，

由得

根據(jù)動直線與橢圓有且只有一個公共點P

得到,整理得.

確定的坐標，

又,

若軸上存在一定點，使得,那么

可得,由恒成立,故，得解.

試題解析：（1）∵ ,設直線方程為,

令,則,∴, 2分

∴ 3分

∵，∴=,

整理得 4分

∵點在橢圓上,∴,∴ 5分

∴即,∴ 6分

（2）∵可設,

∴橢圓的方程為 7分

由得 8分

∵動直線與橢圓有且只有一個公共點P

∴,即

整理得 9分

設 則有,

∴ 10分

又,

若軸上存在一定點，使得,

∴恒成立

整理得, 12分

∴恒成立,故

所求橢圓方程為 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，共線向量，平面向量垂直的充要條件.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當
k1
k2
=
b2
a2
時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年山東省威海市高三3月模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

過橢圓的左頂點作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，若軸上存在一定點，使得，求橢圓的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省廣州市七區(qū)聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E1方程為，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓的左頂點作斜率為1的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為。若

，則該橢圓的離心率為    ．

A．                   B．                   C．                  D．

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