Question

（本題滿分12分）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．

（1）若是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求的取值范圍;

（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且∠為銳角（其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍．

（3）設(shè)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于兩點(diǎn)．求四邊形面積的最大值

Answer 1

（1），（2）或（3）．

【解析】

試題分析：與圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題綜合性較強(qiáng)，解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來，再對表達(dá)式進(jìn)行討論，應(yīng)用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量，不等式的應(yīng)用．

試題解析：易知

所以，設(shè)，則

故． 2分

（2）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，

聯(lián)立，消去，整理得： 3分

∴

由得： 5分

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0 ∴

又

∵，即 ∴

故由①、②得或 7分

（3）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，

． 9分

又，所以四邊形的面積為

=， 11分

當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號．所以的最大值為． 12分

解法二：由題設(shè)，，．

設(shè)，，由①得，， 9分

故四邊形的面積為

， 11分

當(dāng)時(shí)，上式取等號．所以的最大值為． 12分

考點(diǎn)：圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題綜合．