Question

已知函數(shù)f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函數(shù)f（x）在x=a處的導數(shù)，a為正常數(shù)．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意的正實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）；
（3）對任意的n∈N^*，且n≥2，證明：．

Answer 1

（1）解：f'（x）=-lnx，g（x）=x-xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）-f'（a）=-lnx+lna=ln． …（2分）
所以，x∈（0，a）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；x∈（a，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
所以，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a]，單調(diào)遞減區(qū)間為[a，+∞）． …（4分）
（2）證明：對任意的正實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，取a=x₁，則x₂∈（x₁，+∞），由（1）得g（x₁）＞g（x₂），
即g（x₁）=f（x₁）-x₁f'（x₁）＞f（x₂）-x₂f'（x₁）=g（x₂），
所以，f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）…①； …（6分）
取a=x₂，則x₁∈（0，x₂），由（1）得g（x₁）＜g（x₂），即g（x₁）=f（x₁）-x₁f'（x₂）＜f（x₂）-x₂f'（x₂）=g（x₂），
所以，f（x₂）-f（x₁）＞（x₂-x₁）f'（x₂）…②．
綜合①②，得（x₂-x₁）f'（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）． …（8分）
（3）證明：對k=1，2，…，n-2，令φ（x）=，則φ′（x）=，
顯然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
由n-k≥2，得φ（n-k）≤φ（2），即．
所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2． …（10分）
所以=
≤=2 …（12分）
又由（2）知f（n+1）-f（n）＜f′（n）=-lnn，所以lnn＜f（n）-f（n+1）．
∴l(xiāng)n1+ln2+…+lnn＜f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（n）-f（n+1）=f（1）-f（n+1）=1-f（n+1）．
所以，．…（14分）
分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先證明f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁），f（x₂）-f（x₁）＞（x₂-x₁）f'（x₂），即可得（x₂-x₁）f'（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）；
（3）構造函數(shù)φ（x）=，確定φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），再利用放縮法，即可證得結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，綜合性強，難度較大．