Question

命題p：正實數(shù)a，b滿足a²+b²=1；命題q：正實數(shù)a，b滿足a³+b³+1=m（a+b+1）³，若“p∧q”為真命題，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：根據(jù)命題p，將a與b進(jìn)行三角換元，通過命題q把m利用三角函數(shù)表示出來，求m關(guān)于t函數(shù)的值域即可．

解答： 解：∵正實數(shù)a，b滿足a²+b²=1，∴令a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，

π

2

），t=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）
則t∈（1，

2

]，sinθcosθ=

t2-1

2

．由a³+b³+1=m（a+b+1）³，得

1

m

=

(a+b+1)3

a3+b3+1

=

(sinθ+cosθ+1)3

sin3θ+cos3θ+1

=

(t+1)3

t(1- t2-1 2 )+1

=-

2(t+1)3

t3-3t-2

=-

2(t+1)

t-2

，∴m=m（t）=-

1

2

+

3

2t+2

在（1，

2

]上是遞減函數(shù)，
∴m＜m（1）=

1

4

，
m≥m（

2

）=

3 2 -4

2

，故m的取值范圍是[

3 2 -4

2

，

1

4

）

故答案為：[

3 2 -4

2

，

1

4

）

點評：本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的值域問題，運算復(fù)雜，計算量大，屬于高難度題目．