Question

設(shè)函數(shù)f （x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²，a∈R．
（Ⅰ） 若x=1是f （x）的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 設(shè)函數(shù)g（x）=bx²-（2b+1）x+ln x （b≠0，b∈R），若函數(shù)f （x）有極大值，且g（x）的極大值點(diǎn)與f （x）的極大值點(diǎn)相同．當(dāng)a＞-3時(shí)，求證：g（x）的極小值小于-1．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x=1是f （x）的極大值點(diǎn)，令導(dǎo)函數(shù)等于0的另一個(gè)根大于極大值點(diǎn)x=1，列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（II）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出兩個(gè)根，據(jù)已知條件，兩個(gè)根不等，根據(jù)a的范圍，求出f（x）的極大值，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出g（x）的極大值，根據(jù)已知列出方程，求出極小值，得證．
解答：解：（Ⅰ）  f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的極大值點(diǎn)，
故，
即a＜-3    
（Ⅱ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=+2bx-（2b+1）=．
由于函數(shù)f （x）有極大值，故，即a≠-3．
當(dāng) a＞-3時(shí)，即，則f （x）的極大值點(diǎn)，
所以，g（x）的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為x=1．
所以，，
此時(shí)，g（x）的極小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-＜-1．
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值時(shí)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)先正后負(fù)，根為極大值；導(dǎo)函數(shù)符號(hào)先負(fù)后正，根為極小值．