Question

已知：兩個非零向量

a

=（m-1，n-1），

b

=（m-3，n-3），且

a

與

b

的夾角是鈍角或直角，則m+n的取值范圍是（　�。�

• A、（

  2

  ，3

  2

  ）
• B、（2，6）
• C、[

  2

  ，3

  2

  ]
• D、[2，6]

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：由題意得，

a

•

b

≤0，（m-2）²+（n-2）²≤2，點（m，n）在以（2，2）為圓心，以

2

為半徑的圓面上，包含圓，但不包括直線y=x與圓的2個交點，令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，則m+n=4+2sin（θ+

π

4

），由sinθ和cosθ 不能相等或相反，可得-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，從而求得m+n 的范圍．

解答： 解：∵

a

與

b

的夾角是鈍角或直角，∴

a

•

b

≤0，
∴（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即 （m-2）²+（n-2）²≤2，
故點（m，n）在以（2，2）為圓心，以

2

為半徑的圓面上，
包含圓，但不包括直線y=x與圓的2個交點（否則兩個向量共線）．
可令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，
則sinθ和cosθ 不能相等或相反，∴-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，
∴m+n=4+2sin（θ+

π

4

）∈（2，6），
故選：B．

點評：本題考查用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，正弦函數(shù)的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解題的關(guān)鍵．