Question

若三角形的面積為S，周長(zhǎng)為a+b+c，則內(nèi)切圓的半徑r=

 

，當(dāng)a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊時(shí)，內(nèi)切圓半徑為r=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類(lèi)比推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：（1）把該三角形看成是內(nèi)切圓的圓心到三個(gè)頂點(diǎn)所組成的三個(gè)小三角形的面積之和，則每個(gè)小三角形的高為r，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，可得S=

1

2

（a+b+c）r，據(jù)此求出r即可；
（2）根據(jù)S=

1

2

ab，a²+b²=c²，r=

2S

a+b+c

，推理可得直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊之差的一半．

解答： 解：（1）如圖，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE=OF=r，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=

1

2

(a+b+c)r=S，
∴r=

2S

a+b+c

；
（2）當(dāng)a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊時(shí)，
可得S=

1

2

ab，a²+b²=c²，
所以r=

2S

a+b+c

=

ab

a+b+c

=

(a+b)2-c2 2

a+b+c

=

(a+b+c)(a+b-c)

2(a+b+c)

=

a+b-c

2

．
故答案為：

2S

a+b+c

，

a+b-c

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了類(lèi)比推理的方法，內(nèi)切圓的性質(zhì)，以及三角形的面積計(jì)算公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，要熟記直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊之差的一半這個(gè)結(jié)論．