設(shè)S為集合{1,2,3,…,50}的子集,它具有下列性質(zhì):S中任何兩個不同元素之和不被7整除,那么S中的元素最多可能有多少個?
集合{1,2,3,…,50}中所有的數(shù)都除以7取余數(shù),可分為7組,即余數(shù)分別為0,1,2,3,4,5,6;
其中余數(shù)為0時,有{7,14,21,28,35,42,49}共7個;
余數(shù)為1時,有{1,8,15,…,50}共8個;
余數(shù)為2時,有{2,9,16,…,44}共7個;
余數(shù)為3時,有{3,10,17,…,45}共7個;
余數(shù)為4時,有{4,11,18,…,46}共7個;
余數(shù)為5時,有{5,12,19,…,47}共7個;
余數(shù)為6時,有{6,13,20,…,48}共7個;
根據(jù)題意知,余數(shù)為1和余數(shù)為6,余數(shù)為2和余數(shù)為5,余數(shù)為3和余數(shù)為4不能同時在S中,余數(shù)為0時只能有一個元素在S中;
所以,S最大時,元素應(yīng)是余數(shù)為1時+余數(shù)為2時+余數(shù)為3(或余數(shù)為4)時+余數(shù)為0時的一個元素,共23個元素.
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